Senin, 28 Maret 2011

Modul Matematika SMA Kelas 10

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
A.   Pendahuluan

Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar.  Kegiatan belajar I, membahas tentang bentuk pangkat bilangan negatif.  Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut.  Pada kegiatan belajar III membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma.  Dalam mempelajari modul ini siapkan buku penunjang:
a.         Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan pertama.Penerbit Arya Duta.
b.         Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit IntanPariwara.

B.   Pokok Bahasan
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.

C.   Standar Kompetensi
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

D.   Kompetensi Dasar
1.   Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma
2.   Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan     logaritma.

E.   Waktu
Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”.

F.    Jumlah Kegiatan
Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II dan kegiatan belajar III .

G.  Petunjuk Belajar
1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas.
2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan tersendiri    (bila diperlukan).
3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.
4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman dan  diskusikan      atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.


H.  Indikator Pencapaian hasil belajar

1.  Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
      2.  Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.       
      3.  Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.
      4.  Siswa dapat merasionalkan bentuk akar.
      5.  Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
      6.  Siswa dapat melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.
      7.  Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma
      8.  Siswa dapat membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
   




KEGIATAN BELAJAR I

PANGKAT BILANGAN NEGATIF

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real.  Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a,      n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen.  Untuk n = 1, maka a1 = a

Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n  € A dan a     R, maka:
  1. am x an  =  a m+n                                                           
  2. am : an  =  am-n, m>n
  3. (am)n  =  amxn 
  4. (a x b)n  =  an x bn
  5. (a : b)n  =  an  :  bn
Pembuktian  Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No.
Sifat-sifat
Bukti
Contoh
1.
am x an  =  a m+n
am x an  = (a x a x a x…x a) x (a x a x a x…x a)
                       m faktor                  n factor
             = a x a x a x a x a ……x a
                           (m + n) faktor
             = am+n                 

a.  23 x 25 = 23+5=28
b.  a4 x a5 = a4+5 = a9
c.  (2x + 3)2 (2x + 3)3
     = (2x + 3)2+3
     = (2x + 3)5
2.
am : an  =  am-n, m>n
am             am-n+n                am-n . an                      an        
an      =          an              =          an          =  am-n  .  an   = am-n . 1
                                                                     = am-n

a.  36 – 34 = 36-4 = 32

b.  (a-1)5
     (a-1)2    = (a-1)3
3.
(am)n  =  amxn 
(am)n  = am x am x am x …(am)
                 n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …)
    m faktor                                  m faktor
                             n faktor
= a x a x a x a x a = ...  ...  ... x a
               (m x n ) faktor
= (a)mn

a. (23)4 = (2)3x4= 212

b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
4.
(a x b)n  =  an x bn
(a x b)n  = (a x b) x (a x b) x….x (axb)
                               n factor
             = (a x a x …x a) x (b x b x … x b)
                        n faktor              n faktor
             = an x bn

a. (2 x 3)4 = 24 x 34

b.(a2 x b3)4 =a8 x b12


5.
 ( a  )n  =    an    
   b             bn
( a  )n  =    a/b x a/b x a/b x …x a/b   
  b                       n faktor
           =    a x  a x a x … x a ,    n faktor
                  b x b x b x … x b ,   n factor
           =     an
                  bn


  1. ( 2/3)2  =  22/32

  1. (a/b)3  =  a3/b3

  1. (a2/b3)4=a8/b12 


Bagaimana Arti Pangkat Nol  dan Bulat negatif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .  Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.

Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka   ao = 1  (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.
ao . an  =  ao+n  =  an    bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh:     ao+n  =  an    
                                                                                                                      an         an
                          
                                    ao . an   =  an   
                                          an        an
                                    ao (1)  =  1
                                    ao       =  1

Pengertian pangkat bulat negatif
Jika a € R , a ≠ 0 dan  n € bilangan positif, maka   a-n .   1   =  1   dan   a-n  =   1
                                                                                        a-n                              an     
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n  =  an+(-n)
            an . a-n  =  ao
          an . a-n  =  1
bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:
an . a-n   =   1           an   . a-n   =   1       1  .  a-n   =   1       a-n  =  1 
   an           an               an                 an                             an                    an

Contoh
1.         Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !
a.         3-2 
b.         (0,2)-3
c.         (x + y)-3
d.         (2a – 5b)-4
            Jawab:
a.  3-2 =    1                  b.  (0,2)-3 =       1                     c.  (x + y)-3 =             1                                 
                             32                                       (0,2)3                                         (x + y)3
               
d.  (2a – 5b)-4 =                1
                                                 (2a – 5b)4

1.         Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !

ab-n  =  1                            b.           1         =  a-1  +  b-1
       abn                                   a  +  b

Jawab:
a.         2 . 3-2  =   2                    dan            1         =        1       =    1
                             32                                   2.32              2. 9          18

                        =   2
                              9

Jadi      2 . 3-2           1      
                          2.32
                                                              
b.     1        =   1                                    2-1  +  4-1  =  ½  +  ¼  
     2 + 4          6                    dan                            =  ¾


Jadi  .  1              2-1  +  4-1   
        2 + 4                  
           


RANGKUMAN

1.   Jika a  bilangan real dan n  bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau   pangkat n dari a      ditulis  an  yaitu:  an = a x a x a x ... x a  yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.

2.   Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n  € A dan a     R, maka:
am x an  =  a m+n                                                           
am : an  =  am-n, m>n
(am)n  =  amxn 
(a x b)n  =  an x bn
(a : b)n  =  an  :  bn
3.   Untuk setiap a € bilangan real, maka  a0 = 1
00 tidak didefinisikan

4.   Jika a € bilangan real,  a ≠ 0  dan  n € bilangan positif, maka
a-n.  1   = 1   dan       a-n  =  1
    a-n                                  an



TES KEGIATAN BELAJAR 1

Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di bawah ini !

1.         Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut !
a.  (0,25)3 (0,25)4                                 b.  3x y4 x2 y6              c.  (2x2) (3x3) (4x4)
2.         Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23)4                                                  b.  z3 (z2)3                    c.  3x2 (x2)2 (x3)3
3.         Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn,    sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a.  (2 . 5)4                                             b.  (4 a2)3                     c.  (m3 . n4)5

4.         Dengan menggunakan sifat      ( a  )n  =    an                   
                                                            b             bn  
            Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
                   a.  ( 3/2)4                                       b.  (x2/y3)2                    c. (ab2/c3d3)2
5.         Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
a.                  am x an  =  a m+n
b.                 (am)n  =  amxn 
  ( a  )n  =    an    
c.                      b            bn
6.         Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !
                    a.  (x . y-5)(x . y)-5                                    b.  (2ab2)-3 (3a2b)-2    
7.         Dengan menggunakan sifat am : an =  am-n  sederhanakanlah bentuk berikut:
             a.        a-3                                     b.       4p-2 q-5
                        a-5                                        2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN

1.       a.  (0,25)7                       b.  3x3y10                     c.  12x9

2.       a.  212                             b.  z9                            c.  3x15

3.       a.  24.54                          b.  64a6                        c.  m15 n20

4.       a.  81/16                                    b.  x4                            c.  a2 . b4
                                                    Y6                                c6 d6
5.       Kebijakan guru

6.        a.      ___1___                               b.                  1       
                     X4 . y10                                                               72 a6 b8

7.       a.     a2                                       b.  2p5
                                                          Q3


KEGIATAN BELAJAR 2
                                           BENTUK AKAR

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya.  Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis  a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !
a.  6                       b.  -30              c.  25%            d.  0,4              e.  √4
Jawab:
a.  6 = 12               b.  -90  .             
            2                         3
c.  2 5   =   ¼         d.  0,4  =   4           
    100                                      10
e.  √4 = 2 = 2/1

A.  Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22 = 4  maka  2 = √4
23 = 8  maka 2  =  3√8
24 = 16  maka  2  =  4√16
25  =  32  maka 2  =  5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan  a1/n  =  n√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat.  Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar.  Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:
            Bentuk Pangkat Pecahan                                                          Bentuk Akar
                                              
  1. a1/m  x  a1/n  =  a1/m + 1/n = a n+m                                           m√a  x  n√a  =  mn√an + m                              
                                                 mn

  1. a1/m  :  a1/n  =  a1/m-1/n  =  an-m                                                       m√a  :  n√a  =  mn√an - m  
                                                                       mn
3.    (a1/m)1/n  =  a1/m x 1/n  =  a1/mn                                             n√a . m√a  =  mn√a

4.   (ab)1/n  =  a1/n  x  b1/n                                                           n√ab  =  n√a  x  n√b

  1. (a/b)1/n  =  a1/n                                                                             
                       b1/n                                                                               n√a/b  =  n√a
                                                                                                                   n√b
__________________________________________________________________________________
Sifat-sifat yang lain:                                                                                
  1. a-1/n  =  ( a1/n)-1  =   1      =     1                   
                                   a1/n               n√a   
      
                            

  1. am/n  =    (a1/n )m  =   ( n√a)m     atau
am/n  =  (am)1/n  =   n√am

      8.    ( √x )2  =  x                
      9.    √x y     =  √x  .  √y
      10.   √x/y    =  √x/√y

Contoh;

1.   Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk  berikut kemudian nyatakan ke dalam          bentuk akar ¡
a.  a½  x  a                                                                              b.  ( a )¾
\Jawab:                                                             Jawab:
a½  x  a =  a½+⅓    = a7/12  =  12√a7                          ( a )¾  = a⅔ x ¾ = a½   = √a 
c    a¾
      a

Jawab:
  a¾ 
  a        =  a¾ - ⅔ = a1/12  =  12√a

2.   Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡      
                                  ¼
                a3 b-2
         __________    
                a-1 b2
      
      Jawab
                                 ¼
                a3 b-2
         __________     =  (a3 – (-1) b-2-2)¼   =  (a4 b-4)¼  =  ab-1  = a/b
                a-1 b2

B.   Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar.  Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

NO.

Sifat-sifat

Bukti

Contoh
1.
(√x)2 = x
√x = a      x = a2
Maka (√x)2  =  (a)2  =  x
a.  (√5)2  =  5
b.  (√2a)2  =  2a
c.  (√x + 1)2  =  x  + 2√x  + 1

2.
√xy = √x . √y
√x  =  a      x = a2
dan
√y = b      y = b2,  maka
√xy  =  √a2 . b2 
        =  √(ab)2  =  a b = √x  . √y

√48 = √16 x3  =  √16 x √3
                        =   4√3
4√150  =  4√25 x 6
             = 4 √25 x √6
             = 4 (5) x √6
             = 20√6
3.
√x/y = √x
            √y
√x = a Jika dan hanya jika  x = a2
√y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
√x/y = √a2/b2  =  √(a/b)2    
                        =  a   =  √x
                             b      √y

√64/49 = √64   =    8
                √49         7
4.

n√an  =  (an)1/n  =  a ,
a ≥0
Silahkan buktikan
Sebagai latihan!
3√8 = (8)
          = (23)
          =  23/3  =  1
5.

n√an b = n√an x n√b
           = a n√b,
A dan b ≥0
Silahkan buktikan
Sebagai latihan!

√72 = √36 x 2 = √36 x √2
                        = (62)1/2 x  √2
                        =  6 √2

C.  Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar.  Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.  Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

1.  Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c
                                                                                    dan
                                                                          a√c  -  b√c  =  (a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.  Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau  irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real.
a√c  +  b√c  =  (a+b)√c   (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a√c   -  b√c  =   (a-b)√c   (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1.  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c
2.  a√c   -  b√c  =   (a-b)√c
3.  b n√ a  x  d n√ c  =  bd n √ac
4.  b n√ a  :  d n√ c  =  b/d n √a/c
n√ a  dan  n√ c  ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡
1.  10 √3  +  2 √3  -  5 √3
2.  4 √72  +  3 √50 - 2√18
3.  p √a  -  q √a  +  r √a
4.  2 √4  x  6 √3 
5.  10 √32  :  2 √2
Jawab
1.  10 √3  +  2 √3  -  5 √3    =  (10+2+5)√3  = 17 √3
2.   4 √72  +  3 √50 - 2√18  =  4 √36 x 2  +  3 √25 x 2 – 2 √9 x 2  =  4(6) √2 +  3(5) √2  - 2(3)√2 
                                                                                                        =  24√2  +  15√2  -  6 √2
                                                                                                        =  (24+15-6) √2   =  33 √2
3.  p √a  -  q √a  +  r √a  =  (p – q + r) √a 
4.  2 √4  x  6 √3  =  (2 x 6)√12  =  12 √4 x 3  =  (12 x 2) √3  =  24 √3 
5.  10 √32  :  2 √2  =  (10/2) √32/2  =  5 √16  =  5(4)  =  20

2.  Perkalian Bentuk Akar 

Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x ,  y anggota bilangan real positif, maka:
                    √ x  . √y  =  √xy

Contoh
Sederhanakanlah !
1.  √50  x  √2               2.  √32  x  √12,5          3.  √½  x  √50              4.  √2  x  √5  x  √10
Jawab 
1.    √50  x  √2  = √(50 x 2)  =  √100  =  10                2.   √32  x  √12,5  =  √(32 x 12,5)  =  √400  =  20
3.   √½  x  √50  =  √(½ x 50)  =  √25  =  5                  4.  √2  x  √5  x  √10 =  √(2 x 5 x 10) = √100  =  10

3.  Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka    √x/y   =   √x
                                                                                            √y

Contoh
Sederhanakanlah !
1. √108                        2.  √112,5                    3.  √12a2                                  4.  √xy4
     √27                              √12,5                           √3a2                                          √x3y2

Jawab     
1. √108                        2.  √112,5                    3.  √12a2                                  4.  √xy4
     √27                              √12,5                           √3a2                                          √x3y2

    = √108/27                      =  √(112,5/12,5)          =  √12/3 a2                        =  √y2/x2
    = √4                               =  √9                            =  √4 a2                        =  √y2      =  y
    = 2                                 =  3                              =                                  √x2             x

D.  Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.  Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut.  Untuk memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1.   √a  x  √a                                        akan menghasilkan bilangan rasional              a
2.  ( a  +  √b)  x    ( a  -  √b)     akan menghasilkan bilangan rasional             a2  -  b
3.  (√a  +  √b)  x   (√a  - √b)     akan menghasilkan bilangan rasional             a  -  b

Pembuktian:
1.   √a  x  √a  =  √a2  = a
2.    ( a  +  √b)  x    ( a  -  √b) =  a2 – a √b  + a √b  - (√b)2  =  a2  -  b
3     (√a  +  √b)  x   (√a  - √b) =  (√a )2 - √a . √b  +  √a . √b -  (√b)2  =  a – b

Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
1.  √5 . √5                    2.  (√8  +  √2) (√8  -  √2 )                    3.  (2 + √3) (2 - √3)
4.   (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)
Jawab:  
1.  √5 . √5 =  5                        2.  (√8  +  √2) (√8  -  √2 ) = 8 – 2 = 6
3.  (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1                       4.   (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33

Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1.   Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
2.  Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang dapat merasionalkan  penyebut.
Perhatikan bentuk-bentuk berikut!
1.    a   =        a     .  1                                                       2.   √a  .  √b    =    1  √ab
      √b           √b                                                                     √b     √b          b     
            =        a   .  √b   =   a  √b                         
                     √b     √b        b

3.    ____a___   =    ____a___   .1                          4.            ____a___  =      ____a___  .  1
                                                                                                 √b  -  √c            √b  -  √c  
         √b  +  √c          √b  +  √c
                                                                                                                 =       ____a___ .  √b  +  √c  
                          =     ____a___  . √b  -  √c                                                         √b  -  √c     √b  +  √c  
                                  √b  +  √c     √b  -  √c                                              =        ____a___  (  √b  +  √c ) 
                                                                                                                                 b - c
                          =      ____a___  (√b  -  √c )                                                         
                                       b  -  c


5.   √a  -  √b       =    √a  -  √b  .  1
      √a  + √b              √a +  √b

                           =     √a  -  √b   .     √a -  √b
                                   √a +  √b        √a -  √b

                           =     a + b -  2√ab
                                       a  -  b
Contoh 1

Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

a.    √3                    b    5                  c              6              d .           5          e.                  6           
      √4                         √7                         6 + √6                     5 -  √5                  √5  +  √2
f.                    6       g.       √8   -   √2             h.   √6   +   √2             
          √6  -  √2                  √8  +  √2                    √6   -  √2

Jawab

a.    √3   .    √4    =       √12   =    2  √3  =  1    √3                                 
       √4        √4                4           4            2

b    5  .      √7   =      5   √7                                            
    √7         √7           7                  

c.            6   .    6 - √6     =        6    ( 6 -  √6 )  =       6    ( 6 -  √6 )  =  1 ( 6 -  √6 )                                                        
      6 + √6        6 - √6          36 - 6                             30                       5                  

d .           5   .    5 +  √5    =      5     (5 +  √5)  =       5     (5 +  √5)  =      1    (5 +  √5)                                                        
       5 -  √5        5 +  √5             25 - 5                      20                           4

e.                6   .  √5  -  √2   =          6      (  √5  -  √2  ) =     6    (  √5  -  √2  )  =  2  (  √5  -  √2  )     
      √5  +  √2      √5  -  √2             5 - 2                                3

f.             6  .  √6  +  √2  =          6     (√6  +  √2)  =     6    (√6  +  √2)  =  2  (√6  +  √2)                              
     √6  -  √2     √6  +  √2          6  -  2                           3

g.  √8   -   √2   .    √8  -   √2  =     8 -4-4+2 =  2    =  1              
     √8  +   √2         √8  -   √2         8   -  2        6        3

h.   √6   +   √2  .   √6    +   √2   = 6   +  2   =  10  =  5
      √6    -   √2      √6    +   √2       6   -  2        4        2

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini
           H                             G
     E                        F                               Hitung panjang AG ¡     
                            

                   
                   D                     C
                       
       A                        B         
            (√7 - √2) cm

Jawab

AG adalah panjang diagonal ruang

AG = a √3  =  (√7 - √2) √3 =  √21 - √6 
Jadi panjang AG =  (√21 - √6) cm


RANGKUMAN


1.  Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal   √2, √3, √5  adalah bentuk akar  dan  √4, √9, √16  adalah bukan bentuk akar.

2.  Oprasi Aljabar pada bentuk akar

a.  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c
b.  a√c   -  b√c  =   (a-b)√c
c.  b n√ a  x  d n√ c  =  bd n √ac
d.  b n√ a  :  d n√ c  =  b/d n √a/c
e.  √ a  dan  n√ c  ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.

3.  Merasionalkan Penyebut

1.    a   = 1                                                              2.   √a  .  √b    =    1  √ab
      √b                                                                           √b     √b          b     
            =        a   .  √b   =   a  √b                         
                     √b       √b        b


3.    ____a___   =    ____a___     .1                          4.            ____a___  =      ____a___  .  1
                                                                                                  √b  -  √c            √b  -  √c  
         √b  +  √c          √b  +  √c
                                                                                                                 =       ____a___ .  √b  +  √c  
                          =     ____a___  . √b  -  √c                                                         √b  -  √c     √b  +  √c  
                                  √b  +  √c     √b  -  √c                                              =        ____a___  (  √b  +  √c ) 
                                                                                                                                 b - c
                          =      ____a___  (√b  -  √c )                                                         
                                       b  -  c

5.   √a  -  √b       =    √a  -  √b  .  1
      √a  + √b              √a +  √b

                           =     √a  -  √b   .     √a -  √b
                                   √a +  √b        √a -  √b

                           =     a + b -  2√ab
                                       a  -  b




TES KEGIATAN BELAJAR 2

Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !

1.  Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !

     a.  √48                                            b.  √1/75

2.  Sederhanakan bentuk berikut !

     a.    5√3  +  √12  -  2√27                b.  4√3  x  3√6

3.  Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!

     a.          3                            b.           √6                  c             5                   d.  √3  +  √2    
           2 - √3                                 2√3 + 3√2                        √7  +  √2                √3  -   √2

     e.  2√3  +  3
          2√3  -   3

4.   Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B.  Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm  dan luas segitiga    tersebut adalah 1,00 cm2  .  Tentukan panjang sisi lainnya! 

5.   Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm.  Tentukan panjang diagonal ruang balok tersebut!

Kunci

1.      a.  4√3                            b.   1 √3
                                                      5

2.      a.   √3                             b.   36√2

3.      a.   9                               b. √3  -   √2                 c.   √7  -  √2                 d.  7 +  2√6
         e.    7  +  4√3

4.       (√5 - √3) cm                  5.    3√14  cm.


KEGIATAN BELAJAR 3

LOGARITMA

1.   Pengertian Logaritma

Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan.  Bentuk an dikenal sebagai bilangan berpangkat.  a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen.  Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an  dapat dihitung dan b disebut numerus.  Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan
24 = 16,  didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2n = 16. 
4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.
Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:
alog b = c    ac = b,  dengan syarat a ≠ 1  dan  a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10.
Contoh:          
10log 10 = log 10 = 1               dan 10log 100 = log 100 = 2
Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel dibawah ini!

NO.

Bentuk Logaritma

Bentuk Pecahan

Hasil

1
4log 8 = a
4a = 8
a = 3/2
2
3log 27 = b
3b = 27
a = 3
3
2log 1   = c
       64
2c = 1/64
c = -6
4
3log 3√3 = d
3d = 3 3
d = 3/2
5
5log 3√ 5 = e
5e = 3 5
e = 1/5
6
  Log 81 = f
(⅓)f = 81
f = -4
7
1000log √10 = g
1000g =  10
g = 1/6
8
1/49 log 1/ 7 = h
(1/49)h = 1/7
H = ¼

2.   Sifat-sifat Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.  Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.

2.1       Logaritma dari perkalian
            Logaritma dari  perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
alog MN = alog m + alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal  M = an       alog M = p   dan   N = aq          alog N = q   sehingga   MN = ar     alog MN = r
Karena  ar  =  MN, maka alog MN =  r  =  p + q  =  alog M + alog N ( terbukti )

2.2       Logaritma dari pembagian
            Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

alog(M : N)  =  alog m – alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0

Pembuktian:
Misal  M = an      alog M = p   dan   N = aq        alog N = q   sehingga  M:N = ar     alog M : N = r
Karena  ar  =  M : N, maka alog ( M : N ) =  r  =  p - q  =  alog M - alog N ( terbukti )

2.3       Logaritma dari perpangkatan
            Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok.
alog Mp  =  p. alog M,   dengan a ≠ 0,  dan a, M, p > 0
                                                                               
2.4       Mengubah basis logaritma
            Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:
                                                                               Mlog N =  aLog N
                                                                                   aLog M ,   dengan syarat a, M ≠ 1   dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = ap       alog M = p
          N  = aq        alog N = q
Maka    MLOG N  =    ap log aq    =  q .ap log a  =     q .ap log (ap)1/p  =  q/p = alog N
                                                                                                                     alog M    (terbukti)


2.5.      Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:                                                         
                                                          alog M
                                      a            = M ,     dengan syarat  a ≠ 1  dan a, M > 0

Pembuktian:
Misal alog M = p        ap = M

Maka  =        alog M
                    a                 =    ap
                                                          =    M (terbukti)

Contoh:

1.         Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:
            a.  log 40 + log 25                   b.  2log 4 + 2log 8                    c.  Jika log 4 = a dan log 3 = b
                                                                                                                 tentukan  log 48

Jawab.
            a.  log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2
            b.  2log 4 + 2log 8  =   2log (4 x 8) =  2log 32 = 5
            c.    log 48 =  log (4 x 4 x 3)  =  log 4 + log 4  + log 3 =  a + a + b = 2a + b

2.         a.   Jika log 2 = 0,3010  dan  log 3 = 0,4771,  dengan menggunakan sifat logaritma pembagian
            Tentukanlah nilai dari  log 1,5
Jawab
log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761

b.   Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai  2log 14 – 2log 7
Jawab    
2log 14 – 2log 7 = 2log (14/7) = 2log 2 = 1

3.         a.   Jika log 2 = 0,3010  dan  log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab.
a.   log 48 = log (24 x 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771
                                                                                                         = 1,2040 + 0,4771
                                                                                                         = 1,6811

4.         Jika  2log 3 = a   dan   3log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai  6log 15!

Jawab.                   
            6log 15 = log 15  =   log (3 x 5)  =  3log 3 + 3log 5  =  1  +  b    =  a ( 1 + b)
                           log 6          log (3 x 2)      3log 3 + 3log 2       1  +  1/a         1 +  a

5.         Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari

                4 log 64
              4            
Jawab.


                4 log 64                
              4              =      64

RANGKUMAN


Definisi logaritma:
alog b = c    ac = b,  dengan syarat a ≠ 1  dan  a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Sifat-sifat logaritma:
1.         alog M.N = alog m + alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0
2.         alog(M : N)  =  alog m – alog n,   dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0
3.         alog Mp  =  p. alog M,   dengan a ≠ 0,  dan a, M, p > 0
4.         Mlog N =  aLog N
                                          aLog M ,   dengan syarat a, M ≠ 1   dan a, M, N > 0

                        alog M
5.            a            = M ,     dengan syarat  a ≠ 1  dan a, M > 0

6.         alog b . b log c . c log d = alog d
7.         an
                     Log bm   =  m   alog b
                                n
8.         alog 1 = 0
9.         alog an = n
10.       alog b  =       1
                          blog a

TES KEGIATAN BELAJAR 3

Berilah tanda silang ( x ) pada huruf   a , b,  c , d  , atau e  pada jawaban yang paling benar!


1.         4log 64 + 3log 81 – ½log 8  = ....
            a.   10              b.  9                 c.  7                 d.  6                 e.  4                

2.         Jika log 2 = a , maka log 5 = ....
            a.  a                  b.  1 + a           c.  1 – a            d.  3a               e.  -1

3.         Jika log 2 = a , maka log 50 = ....
            a.  -1                b.  2a               c.  3a                d.  2a – 1         e.  2 – a

4.           2log 5
            4             =....
            a.  0,4              b.  0,2              c.  1                 d.  5                 e.  25

5.         Jika log (2x + 6) = 2, maka x = ....
            a.  46               b.  47               c.  48               d.  49               e.  50

6.         alog (1/b) . blog (1/c) . clog(1/a) =....
            a.  -1                b.  1                 c.  1                 d.  1 + abc       e.  1 – abc
                                                        abc

7.         Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….
            a.  100             b.  10               c.  3                 d.  2                 e.  1

8.         Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log √3 adalah….
            a.  4/p              b.  2/p              c.  1/p              d.  ½p  e.  ¼p


9.         Nilai dari  3log   1   . 5log 8 . 2log √3
                                  25

            a.  -3                b.  -2                c.  1                 d.  2                 e.  3

10.       Jika 2a = 3 , maka 3log 12 = ....
            a.  2  +  a         b.  2  +  a         c.  2  +  a         d.  1  + 1         e.  2  +  1
                     2                      a                  1  +  a                      a                      a

11.       Jika  3log 5 = p, maka nilai   5log  3 = ....
            a.  ¼p              b.  ½p  c.  1/p              d. 2/p               e.  4/p

12.       Nilai x yang memenuhi dari  5log (0,2) = x  adalah....
            a.  -2                b.  -1                c.  2                 d.  3                 e.  4

13.       Nilai x  dari 2log 5√8 = x adalah....
            a.  -5/3             b.  -3/5             c.  3/5              d.  5/3              e.  5/2

14.       Nilai dari  5log 150 – 5log 24 + 5log 4 = ....
            a.  5                 b.  4                 c.  3                 d.  2                 e.  1

15.       Jika  7log 2 = a  dan  2log 3 = b, maka nilai 6log 98 =….

            a.     a  +  2      b.     a  +  2      c.     a  -  2       d.     a  +  1      e.     a  + 2    
                  a(1+ b)           1 + ab            a(1+b)            a(1+b)           a(1-b)
           

KUNCI JAWABAN

1.  a                                         6.  a                                         11.  b                          
2.  c                                         7.  e                                         12.  b
3.  e                                         8.  d                                         13.  c
4.  e                                         9.  b                                         14.  d
5.  b                                         10.  b                                       15.  a


UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini.  Kemudian gunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan relajar 3.

Rumus:

Tingkat Penguasaan  =  Jumlah Jawaban Anda yang benar     x  100  
                                                            15

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
96  -  100         =  Tuntas istimewa

86  -  95           =  Tuntas baik sekali

81  -  85           =  Tuntas baik

75  -  80           =  Tuntas cukup

65  -  74           =  Tuntas kurang

0    -  64           =  Belum tuntas Sangat kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai  ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan memahami materi pada kegiatan belajar 3.  Hebat!.  Tetapi bila tingkat penguasaan Anda  < 75, maka Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.






















ASEP YANA KOMARUDIN/SMANSA/SUKABUMI/2008

3 komentar:

  1. Thank's, sangat berguna bagi saya

    BalasHapus
  2. salam.... artikelnya bagus mas.. lengkap banget. math emang mesti harus ada contoh, jd lbh mudah dipahami. tapi klo boleh saran, nulis math nya pake latex aja biar lebih rapih.. mudah2an lbh manfaat lg

    BalasHapus